Лабораторная работа №13. Моделирование линейных систем в пакете программ Mathcad

Цель работы

-изучение функций Mathcad для моделирования линейных систем;

-синтез передаточной функции фильтра в Mathcad;

-исследование aмплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра, переходной характеристики.

Краткие пояснения к лабораторной работе

1.1 Аналоговые линейные системы

Связь между входным X(t) и выходным Y(t) cигнaлами некоторой аналоговой системы называется функцией преобразования

Y(t)=F[X(t)].                                                                            (1)

Линейными называют системы, для которых выполняется принцип суперпозиции: реакция на линейную комбинацию cигнaлов равна линейной комбинации реакций на эти cигнaлы, поданные на вход по отдельности.

F[X1(t)+X2(t)]=F[X1(t)]+F[X2(t)].                                           (2)

F[C×X(t)]=C×F[X(t)],       где С=const.                                               (3)

Реакция на d-импульc называется импульcной характеристикой системы – h(t). Физически реализуемые системы удовлетворяют двум условиям

Импульcная и переходная характеристика системы позволяют определить реакцию системы на произвольный входной cигнaл (в соответствии с интегралом Дюамеля) в одной из четырех форм

Для анализа системы применяются также преобразование Лапласа и преобразование Фурье

где Y*(s), X*(s) – изображения cигнaлов (преобразования Лапласа cигнaлов);

H(s) – передаточная функция системы.

где     Y*(j×w), X*( j×w) – изображения cигнaлов (преобразования Фурье cигнaлов);

H(j×w) – частотная характеристика системы (зависимость выходного cигнaла при воздействии входного гармонического cигнaла от частоты);

H(w), j(w) – aмплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики.

Частотная характеристика системы может быть определена по передаточной функции путем подстановки .

Для линейной системы выполняется принцип суперпозиции

Y*(s)=H(s)×X1*(s)+H(s)×X2*(s)= H(s)×[X1*(s)+X2*(s) ],                (15)

Y*(s)=C×H(s)×X*(s)=H(s)×C×X*(s).                                             (16)

При последовательном / параллельном соединении линейных систем общая передаточная функция равна произведению / сумме передаточных функций этих систем

H*(s)=H1(s)×H2(s),                                                           (17)

H*(s)=H1(s)+H2(s).                                                          (18)

Например, во многих случаях полученная передаточная функция системы H(s) может быть представлена в дробно-рациональной форме

причем m<n и коэффициенты ai, bi – действительные числа.

Вычислив корни знаменателя A(s), т.е. полюса системы spi, можно представить передаточную функцию в виде

где ki – кратность корней.

В случае, если все полюса простые (ki=1), импульcная характеристика системы определяется выражением

Переходная характеристика определяется в этом случае выражением

2.2 Функции Mathcad для моделирования аналоговых линейных систем

Для фильтра 1 порядка передаточная функция записывается в виде

2.2.2. Переходная характеристика h1(t) вычисляется следующим образом

2.2.3. Задавая время tx в некотором диапазоне, можно построить график переходной характеристики.

Рис. 1. Переходная характеристика ФНЧ 1 порядка

Для нахождения отклика системы на некоторый cигнaл x(t), заданный в виде математического выражения, например

где Ux – aмплитуда синусоидального cигнaла, wx – циклическая частота;

требуется произвести вычисления согласно выражению (6)

В данном случае при интегрировании используется производная входного воздействия, которая обозначена dx(t) и может быть вычислена в Mathcad с помощью функции дифференцирования

Рис. 2. Реакция ФНЧ 1 порядка на гармонический cигнaл

Для анализа частотной характеристики системы можно воспользоваться заменой переменной s=j*w в передаточной функции H(s).

Диапазон частот для вычисления частотной характеристики может быть задан следующим образом

Модуль данной функции определяет aмплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а функция Mathcad arg() определяет фазо-частотную характеристику (ФЧХ).

Рис. 3. Aмплитудно-частотная характеристика ФНЧ 1 порядка

По графику АЧХ можно определить частоту среза – на данной частоте пересекаются график АЧХ и прямая, определяющая уровень спада на 3 дБ.

Программное обеспечение

При выполнении лабораторной работы используется пакет программ Mathcad версии 2000 и выше.

Программа лабораторной работы

Изучить методы моделирования линейных систем в пакете программ Mathcad.

Рассчитать и проанализировать АЧХ системы.

Найти отклик фильтра на cигнaл в виде ступеньки – переходную характеристику фильтра.

Найти отклики фильтра на гармонические cигнaлы в полосе пропускания и полосе задерживания, оценить избирательные свойства фильтра.

Порядок выполнения лабораторного задания

Подготовить и ввести в программу (п. 2.2.1) исходные данные в соответствии с заданным вариантом (по номеру компьютера), необходимые для синтеза аналогового ФНЧ: аппроксимация – по Баттерворту; частота среза Fс; коэффициент усиления K0; порядок фильтра N=2.

Вариант

1

2

3

4

5

6

Fс

100 Гц

200 Гц

300 Гц

400 Гц

500 Гц

600 Гц

K0

10

20

30

40

50

60

ФНЧ Баттерворта второго порядка определяется следующим образом:

Рассчитать АЧХ фильтра (п. 2.2.6). Расчет провести в диапазоне частот, удобном для ее анализа. Записать значения АЧХ на частоте среза (Fx=×Fc)и задерживания (Fx=2×Fc). Построить график АЧХ  (п. 2.2.6).

Вычислить переходную характеристику системы h1(t) (п. 2.2.2). Построить график переходной характеристики (п. 2.2.3). Определить время установления tуст (п.2.2.4) выходного cигнaла на уровне 95 % (или 105 % при наличии колебательного переходного процесса).

Выполнить моделирование фильтра методом интеграла Дюамеля. Выбрать в качестве входного гармонический cигнaл X(t) с частотой Fx равной частоте среза фильтра Fc и единичной aмплитудой (п. 2.2.5). Построить график выходного cигнaла Y(t) (п. 2.2.5).

Сравнить полученные значения в установившемся режиме со значениями АЧX, полученными в п. 6.2.

Повторить п.6.4 для гармонического cигнaла с частотой Fx=2×Fc.

Контрольные вопросы

Свойства аналоговых линейных систем.

Свойства d-импульcа и прямоугольного ступенчатого cигнaла.

Что такое импульcная и переходная характеристика системы. Взаимосвязь импульcной и переходной характеристик.