Дисциплина изучает приближённые методы, которые позволяют вычислять приближённо значения функций, строить аналитические выражения для различных функций (выполнять аппроксимацию функций), заданных таблицей значений, вычислять приближённо значения производных и интегралов, находить приближённо решения дифференциальных, нелинейных и линейных уравнений и их систем. Данные о характеристиках производства и различных производственных процессов, экономические данные и показатели, как правило, могут быть получены эмпирическим путём, поэтому они могут иметь неустранимую начальную погрешность измерения, обусловленную погрешностью измерительной аппаратуры, могут зависеть от различных случайных факторов и условий, при которых они получены, поэтому могут носить стохастический характер. Эти данные необходимо в дальнейшем обрабатывать: находить между ними некоторую функциональную зависимость, определять экстремум полученной функции или дифференцировать, а может интегрировать её для дальнейшего исследования и так далее. Решать задачи такого рода, с применением средств вычислительной техники, призвана данная дисциплина, которая позволяет заменить аналитические методы решения различных математических задач аналогичными численными методами решения.

Теория численных методов является разветвленной наукой и имеет широкое применение при расчетах сооружений. Наиболее широкое применение в расчетах строительных конструкций зданий и сооружений получили такие методы, как метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод криволинейных сеток (МКС) и др.

Метод конечных разностей позволяет с известными приближениями решать весьма сложные задачи, для которых аналитические методы неэффективны. МКР отличается от многих методов своей простотой и алгоритмичностью. Он хорошо реализуется на ЭВМ. Преимуществом этого метода является его слабая зависимость от геометрии оболочки,  характера исходного напряженного состояния. МКР позволяет успешно решать на ЭВМ  задачи устойчивости и динамики при граничных условиях, за исключением свободного края,  неоднородном поле напряжений и переменной жесткости тонкостенных конструкций. Недостатком МКР необходимость задавать большое число шагов сетки для получения хороших результатов, что приводит к высокому порядку системы алгебраических уравнений.

Среди многочисленных методов расчета сложных тонкостенных и континуальных систем за последние годы резко выделился метод конечных элементов. Идея метода заключается в том, что сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на области (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды описывается с помощью группы подобранных функций, представляющих напряжения и перемещения в данной области. Преимущество МКЭ заключается в удобстве формирования уравнений и возможности представления нерегулярных и сложных конструкций и условий нагружения.

Одним из численных методов исследования напряженно-деформированного состояния  является метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), иначе – метод граничных элементов. При расчете однородных тел  количество переменных можно существенно уменьшить за счет сведения краевых задач для дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям на границе области.

2) Формулировка математической модели (постановка задачи) — это первая стадия работы. Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, описывающих процесс; в эти уравнения в виде коэффициентов входят характеристики тел или веществ, участвующих в процессе

Любое изучаемое явление бесконечно сложно. Оно связано с другими явлениями природы, возможно, не представляющими интереса для рассматриваемой задачи. Математическая модель должна охватывать важнейшие для данной задачи стороны явления. Наиболее сложная и ответственная работа при постановке задачи заключается в выборе связей и характеристик явления, существенных для данной задачи и подлежащих формализации и включению в математическую модель.

Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, то, какие бы методы мы ни применяли для расчета, все выводы будут недостаточно надежны, а в некоторых случаях могут оказаться совершенно неправильными.

В зависимости от сложности модели применяются различные математические подходы. Для наиболее грубых и несложных моделей зачастую удается получить аналитические решения. Для более точных и сложных моделей аналитические решения удается получить сравнительно редко. Обычно теоретики пользуются приближенными математическими методами, позволяющими получить удовлетворительные качественные и количественные результаты. Наконец, для наиболее сложных и точных моделей основными методами решения являются численные; как правило, они требуют проведения расчетов на ЭВМ. Эти методы зачастую позволяют добиться хорошего количественного описания явления, не говоря уже о качественном. Во всех случаях математическая точность решения должна быть несколько (в 2 — 4 раза) выше, чем ожидаемая физическая точность модели. Более высокой математической точности добиваться бессмысленно, ибо общую точность ответа это все равно не повысит. Но более низкая математическая точность недопустима (для облегчения решения задачи нередко в ходе работы делают дополнительные математические упрощения; это снижает ценность результатов).

Если расчеты хорошо согласуются с контрольными экспериментами, то это свидетельствует о правильном выборе модели; такую модель можно использовать для расчета процессов данного типа. Если же расчет и эксперимент не согласуются, то модель необходимо пересмотреть и уточнить.

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Помимо разработки математической модели, требуется еще разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности арифметических и логических действий.

Сам алгоритм и программа для ЭВМ должны быть тщательно проверены. Строгое математическое обоснование алгоритма редко бывает исчерпывающим исследованием.

Для сложных задач разработка численных методов и составление программ для ЭВМ очень трудоемки и занимают от нескольких[ недель до нескольких лет. Стоимость комплекса отлаженных программ нередко сравнима со стоимостью экспериментальной физической установки. Зато проведение отдельного расчета по такому комплексу много быстрей и дешевле, чем проведение отдельного эксперимента. Такие комплексы позволяют подбирать оптимальные параметры исследуемых конструкций, что не под силу эксперименту.

Однако численные методы не всесильны. Они не отменяют все остальные математические методы. Начиная исследовать проблему, целесообразно использовать простейшие модели, аналитические методы и прикидки. И только разобравшись в основных чертах явления, надо переходить к полной модели и сложным численным методам; даже в этом случае численные методы выгодно применять в комбинации с точными и приближенными аналитическими методами. Все методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные. Прямые методы дают решение после выполнения конечного числа операций. Эти методы достаточно универсальны, но в ряде случаев полученное решение не является достаточно точным. Итерационные методы используют последовательные приближения (итерации) к искомому результату. Они позволяют получить решение с любой заданной точностью, но при их использовании заранее неизвестно количество предстоящих итераций, более того, итерационные методы в некоторых случаях вообще не дают решения.

Современный инженер-конструктор для успешной работы должен одинаково хорошо владеть и «классическими» методами, и численными методами математики.

Литература [2], [3], [4], [13],[29], [43]